Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2）可得a_n-a_n-1=4，结合等差数列的通项公式可求a_n
（II）由（I）及已知所求和的特点，考虑利用裂项可先求出左边的和，即可证明

解答：解：（Ⅰ）依题意Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)
Sn-1=(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)(n≥2，n∈N*)
两式相减得an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4n+4，(n≥2，n∈N*)
所以（1-n）a_n=-（n-1）a_n-1-4（n-1）
因为n≥2，n∈N^*，所以1-n≠0，
两边同除以（1-n）可得，an=an-1+4⇒an-an-1=4，(n≥2，n∈N*)
所以{a_n}是以a₁=1为首项，公差为4的等差数列
所以a_n=a₁+（n-1）d=4n-3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

1

an-1•an

=

1

(4n-7)(4n-3)

=

1

4

(

1

4n-7

-

1

4n-3

)
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-7

-

1

4n-3

)
=

1

4

(1-

1

4n-3

)＜

1

4

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解等差数列的 通项公式及裂项求和在求解数列和及不等式的证明中的应用．