Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点E，使二面角．E-A₁B-B₁的正切值为，若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连接AB₁，∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，且AB=BB₁，∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴A₁B⊥AC₁…∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁B，
又∵B₁C₁⊥BB₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B₁C₁交BB₁于F，
由（Ⅰ）知EF⊥平面ABB₁A₁，
过F作FG⊥A₁B于G，连接EG，则EG⊥A₁B∴∠FGE就是二面角E-A₁B-A的平面角
设AB=BB₁=a，∵AC₁⊥A₁D，D为AC中点，∴，?B₁C₁=EF=a．∴
设BF=x，Rt△A₁B₁B∽Rt△FGB即．∴当E为CC₁的中点时满足题设．
分析：（Ⅰ）要证B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，只要证明B₁C₁与平面ABB₁A₁内的两条相交直线BB₁，A₁B垂直即可．而B₁C₁与A₁B垂直 可通过证明A₁B⊥平面AB₁C₁来实现．
（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B₁C₁交BB₁于F，过F作FG⊥A₁B于G，连接EG，则EG⊥A₁B，∠FGE就是二面角E-A₁B-A的平面角，表示出EF，利用Rt△A₁B₁B∽Rt△FGB来表示CE，从而确定E的位置．
点评：本题主要考查直线与平面垂直的性质，以及线面所成角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．