Question

已知函数f(x)=ax+

1

x3

，其中a∈R．
（I）求证：函数f（x）为奇函数；
（II）若a=3，求函数f（x）的极值．

Answer 1

（I）函数f(x)=ax+

1

x3

的定义域为{x|x∈R且x≠0}．（1分）
因为f(-x)=-ax-

1

x3

=-f(x)，
所以函数f(x)=ax+

1

x3

为奇函数，（5分）
（II）因为f(x)=3x+

1

x3

，
所以f′(x)=3-

3

x4

=

3(x4-1)

x4

．（8分）
令f′（x）=0，解得x=±1．（9分）
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）		极大值			极小值

（11分）
所以当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=-4，当x=1时，f（x）有极小值f（1）=4．（13分）