Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

3

，an+1=

an

1+2an

．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=20-

1

an

，若数列{|b_n|}的前n项和为S_n，求S_n的表达式；
（3）记cn=

1

an

，函数f(x)=c1x+c2x2+c3x3+…+cnxn，求证：f(

1

2

)＜5．(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，求出{

1

an

}是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解数列{a_n}的通项公式；
（2）通过数列{a_n}的通项公式，求出bn=20-

1

an

的通项公式，确定数列中变号的项，然后求解数列{|b_n|}的前n项和为S_n，求S_n的表达式；
（3）记cn=

1

an

，函数f(x)=c1x+c2x2+c3x3+…+cnxn，推出f(

1

2

)＜5．的表达式，利用错位相减法求出f(

1

2

)，即可证明f(

1

2

)＜5．(n∈N*)．

解答：解：（1）因为an+1=

an

1+2an

，取倒数
可得

1

an+1

=

1+2an

an

=

1

an

+2，即

1

an+1

-

1

an

=2
∴{

1

an

}是首项为3，公差为2的等差数列…（2分），

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1，
∴an=

1

2n+1

…（4分）
（2）bn=20-

1

an

=20-(2n+1)=19-2n，(n∈N*)
由

bn＞0

可得，n＞9.5，
当n≤9时，

sn= n(b1+bn) 2 =-n2+18n…(6分)

，
当n＞9时

sn=b1+b2+…+b9-(b10+b11+…+bn)=2s9-(b1+b2+…+bn)

，
∴

sn= -n2+18n，(n≤9) n2-18n+162，(n＞9)

…（8分）
（3）f(

1

2

)=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+…+(2n+1)×(

1

2

)n①

1

2

f(

1

2

)=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n-1)×(

1

2

)n+(2n+1)×(

1

2

)n+1②
①-②：

1

2

f(

1

2

)=3×

1

2

+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…(

1

2

)n]-(2n+1)×(

1

2

)n+1
=

3

2

+2

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n+1)×(

1

2

)n+1
=

3

2

+1-(

1

2

)n-1-(2n+1)×(

1

2

)n+1…（10分）
∴f(

1

2

)=5-(

1

2

)n-2-(2n+1)×

1

2n

＜5…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，转化思想的应用，分类讨论思想以及错位相减法求解数列的和的方法，考查计算能力．