Question

已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．

(1)求证：tanA＝2tanB；

(2)设AB＝3，求AB边上的高．

Answer 1

答案：
解析：

(1)[证明]由已知 　　①＋②，得sinAcosB＝，①－②，得cosA·sinB＝． 　　两式相除，得＝2，即tanA＝2tanB． 　　(2)∵＜A＋B＜π，又sin(A＋B)＝， 　　∴cos(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－． 　　即＝－，将tanA＝2tanB代入此式，整理得，2tan2B－4tanB－1＝0． 　　解得tanB＝，舍去负值，∴tanB＝，于是tanA＝． 　　设AB边上的高为CD，则 　　AB＝AD＋DB＝， 　　由AB＝3，得CD＝2＋，故AB边上的高为2＋． 　　[分析]利用两角和与两角差的正弦公式，可得到这两个角正切关系式，再根据三角形中内角和定理与平面几何知识，可求出所给角的正切值与已知边上的高．

提示：

本题主要考查对两角和与两角差三角公式的掌握及运用能力，注意锐角三角形中隐含的条件，会把已知线段分解为被高线分成的两线段的和，从而得到所求的高的关系式是解决此题的重要一步．