Question

已知f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数.当a、b∈［-1，1］，且a+b≠0时，有＞0.

(1)判断函数f(x)的单调性，并给以证明；

(2)若f(1)=1,且f(x)≤m²-2bm+1对所有x∈［-1,1］，b∈［-1,1］恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：(1)x₁、x₂∈［-1,1］且x₁＜x₂,在＞0中，令a=x₁,b=-x₂,有＞0.

∵x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0.

    又f(x)是奇函数，∴f(-x₂)=-f(x₂).

∴＞0.

    故f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在［-1,1］上为增函数.

(2)∵f(1)=1且f(x)在［-1,1］上为增函数，∴对x∈［-1,1］，有f(x)≤f(1)=1.由题意，对所有的x∈［-1,1］，b∈［-1,1］，有f(x)≤m²-2bm+1恒成立，应有m²-2bm+1≥1 m²-2bm≥0.记g(b)=-2mb+m²，对所有的b∈［-1,1］，g(b)≥0成立，只需解得m的取值范围是m∈(-∞,-2]∪{0}∪［2,+∞).