Question

设函数f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，已知f（x）在x=0处取得极值．
（I）求a的值；
（II）证明：当x≥0时，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，知f′（x）=（ax+a-1）e^x+2，由f（x）在x=0处取得极值，能求出a．
（Ⅱ）由a=-1，知f（x）=-（x+1）e^x+2x+1，由x≥0，知欲证

-(x+1)ex+2x

ex

≤-

x2+1

x+1

，只需证e^x≥x+1．由此能够证明当x≥0时，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

解答：解：（I）f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，
∴f′（x）=（ax+a-1）e^x+2，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f′（0）=a-1+2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-1，
∴f（x）=-（x+1）e^x+2x+1，
∵x≥0，
∴欲证

-(x+1)ex+2x

ex

≤-

x2+1

x+1

，只需证e^x≥x+1．
令g（x）=e^x-x-1，
则g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，
因此g（x）_min=g（0）=0，即g（0）≥0，
从而e^x≥x+1，
∴当x≥0时，f（x）≤e^x（x+1）成立．
故当x≥0时，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

点评：本题考查函数的极值点的应用，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想、构造法的合理运用．