Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为x₁，x₂，……x_n，……，x₂₀₀₈；y₁，y₂，……，y_n，……，y₂₀₀₈．

(1)求数列{x_n}的通项公式x_n；

(2)写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；

(3)求z_n＝x₁y₁＋x₂y₂＋……＋x_ny_n(x∈N*，n≤2008)

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由题意和框图知，数列{xn}中，x1＝1，xn+1＝xn＋2 　　∴xn＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*，n≤2008)；5分 　　(2)y1＝2，y2＝8，y3＝26，y4＝80 　　由此猜想yn＝3n－1(n∈N*，n≤2008)；6分 　　证明：由框图知，数列{yn}中，yn+1＝3yn＋2 　　∴yn+1＋1＝3(yn＋1) 　　∴数列{yn＋1}是以首项为3，公比为3的等比数列． 　　∴yn＋1＝3·3n－1＝3n 　　∴yn＝3n－1(n∈N*，n≤2008)；8分 　　(3)zn＝x1y1＋x2y2＋……＋xnyn 　　＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋……＋(2n－1)·(3n－1) 　　＝1×3＋3×32＋……＋(2n－1)·3n－[1＋3＋……＋(2n－1)] 　　记Sn＝1×3＋3×32＋……＋(2n－1)·3n；① 　　则3Sn＝1×32＋3×33＋……＋(2n－1)·3n+1；② 　　①－②得－2Sn＝3＋2×32＋2×33＋……＋2×3n－(2n－1)·3n+1 　　＝2(3＋32＋……＋3n)－3－(2n－1)·3n+1 　　＝2×－3－(2n－1)·3n+1＝2(1－n)·3n+1－6 　　∴Sn＝(n－1)·3n+1＋3 　　而1＋3＋……＋(2n－1)＝n2 　　∴zn＝(n－1)·3n+1＋3－n2(n∈N*，n≤2008)(13分)