Question

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°， M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1。
（Ⅰ）求证：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB， ∴EB⊥平面ABCD， 又MN∥EB， ∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角， ∴∠EDB=30°， 又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°， ∴DE=， 连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角， ∴∠DEA=45°， 在Rt△DAE中，∠DAE=90°， ∴AE=DE·cos∠DEA=2， 在Rt△ABE中，。 （Ⅲ）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH， ∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF， ∴BO⊥平面ADE， ∴OH为BH在平面ADE内的射影， ∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角， 在Rt△ABE中，BO=， 在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=， ∴sin∠BHO=。