Question

某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．

Answer 1

分析：（1）求出甲从1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-2）号中任选两款，乙从（m+1）到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数，款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同时被选中包含的基本事件的种数，利用古典概型概率计算公式可求；
（2）求出甲、乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数，确定“没有一个款式为甲和乙共同认可”包含的基本事件种数，利用对立事件的概率公式可求．

解答：解：（1）甲从1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-2）号中任选两款，乙从（m+1）到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为

C

2 m

C

2 n-m

，
记“款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件的种数为

C

1 1

C

1 m-1

•

C

1 1

C

1 n-(m+1)

，
所以P（B）=Pst=

C 1 1 C 1 m-1 • C 1 1 C 1 n-(m+1)

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

，
则所有的P_st的和为：

C

1 m

C

1 n-m

•

4

m(n-m)

=4；（4分）
（2）甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ，
同理得，乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2ⁿ，
据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2ⁿ•2ⁿ=4ⁿ，
记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A，则事件A的对立事件

.

A

为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，
而事件

.

A

包含的基本事件种数为：

C

0 n

•(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)+

C

1 n

•(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)+…+

C

n-1 n

•(

C

0 1

+

C

1 1

)+

C

n n

•(

C

0 0

)=

C

0 n

•2n+

C

1 n

•2n-1+…+

C

n-1 n

•2+

C

n n

•20=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
所以P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

3

4

)n．（10分）

点评：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力，属于中档题．