Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2x+cos2x+

3

4

sin2x．
（1）求f（x）的周期与值域；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式，再利用辅助角公式化简函数，即可求f（x）的周期与值域；
（2）利用正弦函数的单调性，即可求得f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

解答：解（1）f(x)=

1

2

sin2x+cos2x+

3

4

sin2x=

1

2

(1+

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x)=

3

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴f（x）的周期T=π，值域为[

1

4

，

5

4

]；
（2）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），则

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ
∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤x≤

2π

3

∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[

π

6

，

2π

3

]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，解题的关键是正确化简函数，属于中档题．