Question

已知

OB

=（0，1），直线l：y=-1，动点P到直线l的距离d=|

PB

|
（1）求动点P的轨迹方程M；
（2）证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则

OC

•

OD

=-3”为真命题；
（3）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），由题设知
|y+1|=

x2+(y-1)2

，
解得动点P的轨迹方程M为：x²=4y．
（2）设直线m的方程：y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+1代入x²=4y，得
x²-4kx-4=0，则x₁x₂=-4，y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1，
∴

OC

•

OD

=-3．
（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且

OC

•

OD

=-3，则直线m过点B（0，1）”．
证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+n代入x²=4y，得
x²-4kx-4n=0，则x₁x₂=-4n，y₁y₂=k²x₁x₂+nk（x₁+x₂）+n²=-4nk²+4nk²+n²=n²，
∵

OC

•

OD

=（x₁，y₁）×（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3，
∴-4n+n²=-3，
∴n=1或n=3，
即直线m过点（0，1 ）或（0，3），
∴逆命题是假命题．