Question

设椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点分别为F₁，F₂，若点P椭圆上，且cos∠F1PF2=

1

2

，则|PF₁|•|PF₂|=

4

3

．

Answer 1

分析：先设出|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m²+n²的关系，代入△F₁PF₂的余弦定理中求得mn的值．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

9

=1可知，a=5，b=3，c=4，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由椭圆的定义可知m+n=2a=10，
∴m²+n²+2nm=100，
∴m²+n²=100-2nm
由余弦定理可知cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

=

100-2mn-96

2mn

=

1

2

，求得mn=

4

3

．
即|PF₁|•|PF₂|=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．