Question

在数列{a_n}中，a₁=6，a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2，且n∈N^*）
（1）求证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n-3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ，等式两边同除3ⁿ得，=+1，构造等差数列{}并求出共通项公式，进而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n-3ⁿ，其通项由一个等差数列和等比数列相乘得到，则用错位相减法可求得数列{b_n}的前n项和S_n．
解答：解：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ得：
=+1，
即：{}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴=n+1，
∴a_n=（n+1）•3ⁿ（n∈N^*）
（2）∵b_n=n•3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，…①
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，…②
②-①得
2S_n=-（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+n×3ⁿ⁺¹=•3ⁿ⁺¹+
∴S_n=•3ⁿ⁺¹+
点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，难度中等