Question

已知直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．

(1)求证：直线MF∥平面ABCD；

(2)求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

(3)求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN． 　　因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点 　　又因为M是线段AC1的中点，故MF∥AN 　　又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD 　　∴MF∥平面ABCD 　　(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知： 　　A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD 　　∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD 　　又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1 　　在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形 　　故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1 　　又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1 　　(3)由(2)知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，∴BD⊥AC1 　　∵BD∥NA，∴AC1⊥NA 　　又由BD⊥AC可知NA⊥AC 　　∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角 　　在Rt△C1AC中，，故∠C1AC＝30° 　　平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°． 　　(说明：求对一个角即给满分)