Question

在锐角△ABC中，a，b，c，分别是内角A，B，C所对边长，且cos2B-cos2A=2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B）．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，求b，c（b＜c）．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）已知等式利用平面向量的数量积运算法则变形，将cosA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将bc及cosA的值代入求出b+c的值，即可求出b与c的值．

解答：解：（1）由已知得：（1-2sin²B）-（1-2sin²A）=2（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB），
∴2sin²A-2sin²B=

3

2

cos²B-

1

2

sin²B，即sin²A=

3

4

，
又因为A是锐角，∴sinA=

3

2

，
∴A=

π

3

；
（2）∵

AB

•

AC

=bccosA=12，cosA=

1

2

，
∴bc=24，
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即28=（b+c）²-72，
∴b+c=10，
又b＜c，
∴b=4，c=6．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．