Question

已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是

[　　]

A．

B．

C．4π

D．

Answer 1

答案：D
解析：

解法1：由于A、B、C是球面上的三点，且AB=BC=CA=2，OA=OB=OC=R，可知O-ABC是正三棱锥． 设D为△ABC的中心，连结AD、OD， 则OD⊥平面ABC，且OD=R． 延长AD，与BC交于点E，则E为BC的中点，且AE⊥BC， ∴，∴ 在Rt△ODA中，OA=R，OD=，AD=， ∴∴． ∴． ∴选D． 解法2：设球的半径为R，球面的面积为S，如图所示，在Rt△ODA中，OA=R＞AD， 取AB的中点E，连结DE，则△DEA为直角三角形，且AD为斜边，∴AD＞AE==1， ∴R＞1， ∴． 据此可排除A、B、C． ∴选D． 设球心是O，可借助三棱锥O-ABC进行分析解决，如下图，O-ABC是正三棱锥，OD是高，OA等于球的半径R，AB=BC=CA=2．为了球面积S，只需求出R即可． 对于本题，除通过计算取得答案外，也可用估值的方法作出判断．