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    已知数学公式（-1＜x＜1）
    （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
    （2）若a，b∈（-1，1），证明：数学公式；
    （3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

    解：（1）
    又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
    （2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg +lg =lg ，
    f（ ）=lg =lg ，∴f（a）+f（b）=f（ ）．
    （3）设-1＜x＜1，△x=x2-x1＞0，
    因为1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0所以
    所以 所以函数 在（-1，1）上是增函数．
    从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．
    分析：（1）先求定义域，看是否关于原点对称，再用定义判断．
    （2）若a、b∈（-1，1），先化简f（a）+f（b），再化简f（ ）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．
    （2）用单调性定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与0比较．
    点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，证明奇偶性一般用定义，证明单调性可用定义或导数法．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(1-cosx，2sin
    x
    2
    )，
    b
    =(1+cosx，2cos
    x
    2
    )    ，设f(x)=2+sinx-
    1
    4
    |
    a
    -
    b
    |2
    （1）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求函数g（x）的解析式；
    （2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]    上是增函数，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列四个命题：
    （1）已知函数f（x）=
    1
    2
    x2   x≤2
    log2(x+a)  x＞2
    在定义域内是连续函数，数列{an}通项公式为an=
    1
    an
    ，则数列{an}的所有项之和为1．
    （2）过点P（3，3）与曲线（x-2）2-
    (y-1)2
    4
    =1有唯一公共点的直线有且只有两条．
    （3）向量
    a
    =(x2，x+1)    ，
    b
    =(1-x，t)    ，若函数f（x）=
    a
    •
    b
    在区间[-1，1]上是增函数，则实数t的取值范围是（5，+∞）；
    （4）我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{2，4，6，8，10}的“孙集”有26个．
    其中正确的命题有
    （1）（2）（4）
    （1）（2）（4）
    （填序号）

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    科目：高中数学 来源：2014届广东省高一期中考试文科数学试卷A卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

    (1)求函数f(x)的表达式；

    (2)若数列{an}满足a1＝，an+1＝f(an)，bn＝－1，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式；

    (3)在(2)的条件下，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

    【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

    由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

    也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

    ∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

    (2)an＋1＝f(an)＝(n∈N*)，bn＝－1， ∴＝＝＝，

    ∴{bn}为等比数列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝－1＝，

    bn＝b1qn－1＝n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分

    (3)证明：∵anbn＝an＝1－an＝1－＝，

    ∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝＋＋…＋<＋＋…＋

    ＝＝1－<1(n∈N*)．

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若实数a满足f（2a+1）＜1，则a的取值范围是
    x-204
    f（x）1-11


    1. A.
      数学公式
    2. B.
      数学公式
    3. C.
      数学公式
    4. D.
      数学公式

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年江苏省扬州中学高三（下）2月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f（x）=x2，，g（x）=x-1．
    （1）已知函数ψ（x）=logmx-2x，如果是增函数，且h（x）的导函数h'（x）存在正零点，求m的值．
    （2）设F（x）=f（x）-tg（x）+1-t-t2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数t的取值范围．
    （3）试求实数p的个数，使得对于每个p，关于x的方程xf（x）=pg（x）+2p+1都有满足|x|＜2009的偶数根．

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