Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点
（1）求椭圆方程
（2）若此椭圆的左、右焦点F₁、F₂，过F₁作直线L交椭圆于M、N两点，使之构成△MNF₂证明：△MNF₂的周长为定值．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为mx²+my²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得
解得 ．
∴椭圆E的方程
（2）利用椭圆的定义可知，|F₁M|+|F₂M|=2a=4，|F₁N|+|F₂N|=2a=4
∴△MNF₂的周长为|F₁M|+|F₂M|+F₁N|+|F₂N|=2a+2a=4+4=8
∴△MNF₂的周长是定值为4a=8．
分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得到关于m，n的方程组，即可解得 ．最后写出椭圆E的方程 ；
（2）利用椭圆的定义可知|F₁M|+|F₂M|和|F₁N|+|F₂N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，（1）问解答的关键是将点的坐标代入方程，利用待定系数法求解，（2）问解题的关键是利用椭圆的第一定义．．