Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n-4n，n=1，2，3，…
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件通过n=1，2，3，直接计算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答：（本小题满分9分）
解：（Ⅰ）由已知a₁=3，a_n+1=3a_n-4n，
可得，n=1时，a₂=9-4=5；n=2时，a₃=15-8=7；
n=3时，a₄=21-12=9．…（3分）
（Ⅱ）猜想 a_n=2n+1．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=3，右边=2×1+1=3，猜想成立．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2k+1．…（7分）
则n=k+1时，a_k+1=3a_k-4k=3（2k+1）-4k=2k+=2（k+1）+1．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（9分）

点评：本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．