Question

4．（1）设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为两个不共线的向量，$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$，试用$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为基底表示向量$\overrightarrow{a}$；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$=（3，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，2），$\overrightarrow{p}$=（4，1），当k为何值时，（$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$）∥（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$）？平行时它们是同向还是反向？

Answer 1

分析 （1）根据向量的共线定理即可求出，
（2）根向量的坐标运算和向量的平行即可求出

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$，
∴-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+μ（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4λ-3μ=-1}\\{2λ+12μ=3}\end{array}\right.$，
解得λ=-$\frac{1}{18}$，μ=$\frac{7}{27}$，
∴$\overrightarrow{a}$=-$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{7}{27}$$\overrightarrow{c}$，
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（3，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，2），$\overrightarrow{p}$=（4，1），
∴$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k）
2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2）
∵（$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$）∥（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$），
∴2（3+4k）=-5（2+k），
解得k=-$\frac{16}{13}$，
此时$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$=（-$\frac{25}{13}$，$\frac{10}{13}$）=$\frac{5}{13}$（-5，2）=$\frac{5}{13}$（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$），
故$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$，2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$同向．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及向量的共线定理，属于中档题．