Question

函数f（x）=lnx+

1

x

+ax（a∈R）
（1）a=0时，求f（x）最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）是单调增函数，求a取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数求函数的最小值．（2）要使f（x）在[2，+∞）是单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．

解答：解：（1）a=0时，f(x)=lnx+

1

x

f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当0＜x＜1时f'（x）＜0，此时函数f（x）递减．
当x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）递增．
∴f（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）单增．
∴x=1时f（x）有最小值1        …（6分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

，
∵f（x）在[2，+∞）为增函数，∴f'（x）≥0恒成立，
则

ax2+x-1

x2

≥0x≥2恒成立，∴a≥(

1

x

)2-

1

x

最大值   …（9分）
令g(x)=(

1

x

)2-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
则x≥2时，则0＜

1

x

≤

1

2

-

1

4

≤g(x)＜0，
∴a≥0…（13分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．