Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C底面ABC，AA₁=A₁C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁O⊥AC，由此利用侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，能证明A₁O⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-AB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AA₁=A₁C，且O为AC的中点，∴A₁O⊥AC，…（2分）
又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC．…（4分）
解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，$B（\sqrt{3}，0，0）$
∴$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，
…（6分）
设平面AA₁B的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}B}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，得$y=-\sqrt{3}$，z=1
∴$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，1）$…（8分）
∵A₁O⊥平面ABC
∴平面ABC的一个法向量$\overrightarrow n=（0，0，\sqrt{3}）$…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
又二面角A₁-AB-C是锐角
∴二面角A₁-AB-C的余弦值为 $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．