Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$
• B． $\frac{13}{6}$e⁶
• C． $\frac{1}{6}$e⁶
• D． $\frac{7}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 设公共点为P（x₀，y₀），分别求出f′（x）和g′（x），由题意可得f′（x₀）=g′（x₀），列出方程求出解出x₀，再由f（x₀）=g（x₀）得到b关于a的函数，求出函数的导数，由a的范围和导数的符号求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．

解答 解：设曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
因为f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，且f′（x₀）=g′（x₀），
所以x₀+2a=$\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}$，化简得${{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}-3{a}^{2}=0$，
解得x₀=a或-3a，又x₀＞0，且a＞0，则x₀=a，
因为f（x₀）=g（x₀），所以$\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b$，
则b（a）=$\frac{5}{2}{a}^{2}-3{a}^{2}lna$（a＞0），
所以b′（a）=5a-3（2alna+a）=2a-6alna=2a（1-3lna），
由b′（a）=0得，a=${e}^{\frac{1}{3}}$，
所以当0＜a＜${e}^{\frac{1}{3}}$时，b′（a）＞0；当a＞${e}^{\frac{1}{3}}$时，b′（a）＜0，
即b（a）在（0，${e}^{\frac{1}{3}}$）上单调递增，b（a）在（${e}^{\frac{1}{3}}$，+∞）上单调递减，
所以当a=${e}^{\frac{1}{3}}$时，实数b的取到极大值也是最大值b（${e}^{\frac{1}{3}}$）=${\frac{3}{2}e}^{\frac{2}{3}}$．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间、极值和最值，以及对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．