Question

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，M为侧棱CC1上一点，AM⊥A1C (1) 求异面直线A1B与AC所成角的余弦值； (2) 求证：AM⊥平面A1BC； (3) 求二面角M—AB—C的正切值

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一：在直棱柱ABC—A1B1C1中， AC//A1C1∴∠BA1C1是异面直线A1B 与AC所成的角……………………2分 连接BC1 ∴CC1⊥平面A1B1C1 ∴CC1⊥A1C1 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90° 即A1C1⊥B1C1 ∴A1C1⊥平面BB1C1C ∴BC1平面BB1C1C ∴A1C1⊥BC1 在直角三角形BCC1中，BC＝1，CC1＝AA1＝ 在直角三角形A1BC1中， ………………………………………………4分 解法二：如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0) ……………………2分 设异面直线A1B与AC所成的角为，则 ………………………………4分
(2)	解法一：由(I)可知，BC⊥AC，BC⊥CC1 ∴BC⊥平面ACC1A1，又AM平面ACC1A1，则BC⊥AM ∵AM⊥A1C，∴AM⊥平面A1BC (Ⅲ)在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，显然CH是MH在平面ABC上的射影 ∴MH⊥AB ∴∠MHC是二面角M—AB—C的平面角 …………………………11分 ∵AM⊥A1C ∴∠MAC＝∠AA1C，则 tanMAC＝tanAA1C 即 ………………………………………………13分
(3)	解：设M(0，0，z1) ∵AM⊥A1C 即－3＋0………………10分 设向量m＝(x，y，z)为平面AMB的法向量，则，则 ，令x＝1，则平面AMB的一个法向量为 显然向量n＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量， 设所求二面角的大小为 则 …………………………………………………………13分