Question

如图,已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠BCA=90°,AC=BC=a,点A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,BA₁⊥AC₁.

(1)求证:BC⊥平面A₁ACC₁;

(2)求二面角B-AA₁-C的正切值.

Answer 1

答案：(1)证明:∵A₁D⊥平面ABC,∴A₁D⊥BC.

又AC⊥BC,∴BC⊥平面A₁-AC-C₁.

(2)解:作CM⊥AA₁于M,∵BC⊥平面A₁ACC₁,

由三垂线定理得知AA₁⊥BM,

∴∠BMC是二面角BAA₁C的平面角.

∵BA₁⊥AC₁,BC⊥平面A₁ACC₁,由三垂线定理的逆定理知A₁C⊥AC₁,

∴四边形A₁ACC₁是菱形.∴A₁A=AC=a.

又∵A₁D⊥AC于D,D是AC中点,∴AA₁=CA₁=AC=a.

∴△A₁AC是正三角形,∴CM=a.

BC=a,∴tan∠BMC=.