Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．可得到

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z由此方程求出φ值，
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间可令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的取值范围即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅲ）由五点法作图的规则，列出表格，作出图象．

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

8

是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×

π

8

+φ)=±1，∴

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∴-π＜φ＜0，φ=-

3π

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ=-

3π

4

，因此y=sin(2x-

3π

4

)．
由题意得     2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函数y=sin(2x-

3π

4

)的单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（Ⅲ）由y=sin(2x-

3π

4

)知

x	0	π 8	3π 8	x1，y1	7π 8	π
y	- 2 2	-1	0	1	0	- 2 2

故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是

点评：本题考查五点法作正弦类函数的图象，解题的关键是由函数的图象特征求出函数的解析式，以及熟练掌握五点法作函数规则与步骤．本题是三角函数中一个综合性较强的题型，近几年高考中对三角函数的考查多以此题的形式出现．