Question

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M（

π

3

，

1

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α∈（-

π

3

，

π

2

），f（α+

π

3

）=

1

3

，求sin（2α+

2π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）依题意有A=1，然后将点M（

1

3

π，

1

2

）代入结合0＜φ＜π可求φ，进而可求函数解析式
（2）由已知得cos(α+

1

3

π)=

1

3

，结合α的范围，可求sin（α+

1

3

π），代入sin(2α+

2π

3

)=2sin(α+

1

3

π)cos(α+

1

3

π)即可求解

解答：解：（1）依题意有A=1，
则f（x）=sin（x+φ），将点M（

1

3

π，

1

2

）代入得sin(

1

3

π+φ）=

1

2

而0＜φ＜π
∴

1

3

π+φ=

5π

6

，
∴φ=

1

2

π，
故f（x）=sin（x+

1

2

π）=cosx；…（5分）
（2）由已知得cos(α+

1

3

π)=

1

3

∵α∈(-

1

3

π，

1

2

π)
∴α+

1

3

π∈(0，

5π

6

)
则sin（α+

1

3

π）=

2 2

3

                         …（8分）
∴sin(2α+

2π

3

)=2sin(α+

1

3

π)cos(α+

1

3

π)=

4 2

9

．  …（12分）

点评：本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数解析式，同角平方关系及二倍角的正弦函数的关系．