Question

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=60°，c=3b求：
（1）

a

c

的值
（2）

1

tanB

+

1

tanC

值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，把cosA及b=

1

3

c代入，整理后即可得到a与c的比值；
（2）把所求的式子中的tanB和tanC先利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后分子利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用诱导公式及三角形的内角和定理化简，整理后把sinA，表示出的a²，以及c与b的比值代入即可得到结果．

解答：解：（1）∵A=60°，c=3b，
∴根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(

1

3

c)2+c2-2•

1

3

c•c•

1

2

=

7

9

c2，
则

a

c

=

7

3

；（6分）
（2）∵A=60°，c=3b，a²=

7

9

c2，
∴

1

tanB

+

1

tanC

=

cosB

sinB

+

cosC

sinC

=

sinCcosB+cosCsinB

sinBsinC

=

sin(C+B)

sinBsinC

=

sin(π-A)

sinBsinC

=

sinA

sinBsinC

=

1

sinA

•

a2

bc

=

1

sinA

•

7c2 9

bc

=

1

sinA

•

7

9

•

c

b

=

2

3

×

7

9

×3
=

14 3

9

（12分）

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．