Question

方程cos2x-sinx+a=0在x∈[0，π]上有解，则实数a的取值范围是

[-1，2]

．

Answer 1

分析：若方程cos2x-sinx+a=0有实数解，实数a应该属于函数y=-cos2x+sinx的值域，结合余弦二倍角公式，再结合二次函数在定区间上的值域求法，易得函数y=-cos2x+sinx的值域，进而得到实数a的取值范围．

解答：解：∵cos2x-sinx=1-2sin²x-sinx
=-2（sinx+

1

4

） 2+

9

8

又∵x∈[0，π]
∴0≤sinx≤1
∴-2≤-2(sinx+

1

4

)2+

9

8

≤1
∴-1≤2(sinx+

1

4

)2+

9

8

≤2
则方程cos2x-sinx+a=0在[0，π]上有实数解
∴a=-cos2x+sinx在[0，π]上有实数解
∴-1≤a≤2
故实数a的取值范围-1≤a≤2
故答案为：[-1，2]

点评：本题主要考查方程根的问题转化为函数的值域求解，还涉及了三角函数，二次函数值域的求法．