Question

已知f（x）=-，数列{a_n} 的前n项和为S_n，点在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：S_n＞，n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1），且a_n＞0，所以，所以，（n∈N^*），由此能求出数列{a_n} 的通项公式．
（2）由，，得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
所以，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由，知＞．由此能够证明S_n＞，n∈N^*．
解答：（1）解：，且a_n＞0，
∴，
∴，（n∈N^*），
∴数列{}是等差数列，首项=1，公差d=4
∴，
∴，
∵a_n＞0，
∴…（4分）
（2）解：由，
得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
∴，
∴数列是等差数列，首项为，公差为1
∴，∴T_n=4n²-3n当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=8n-7b₁=1也满足上式
∴b_n=8n-7，n∈N^*．…（8分）
（3）证明：，
∴＞
=．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞…（12分）
点评：本题首先考查数列与不等式的综合应用，结合数列的性质解决不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求具有较强的计算能力，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．