Question

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．

Answer 1

分析：（I）分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，求出

DM

与

EB

的坐标，然后计算它们的数量积为0，从而得到DM⊥EB；
（II）先分别求出平面MBD的法向量和取z=2得平面MBD的一非零法向量然后利用空间向量夹角公式求出法向量的夹角，从而求出二面角的平面角的余弦值．

解答：解：分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，
则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）
所以M(a，a，

a

2

)．
（Ⅰ）：

DM

=(a，a，-

3a

2

) ，

EB

=(-2a，2a，0)

DM

•

EB

=a•(-2a)+a•2a+0=0．
∴

DM

⊥

EB

，即DM⊥EB．
（Ⅱ）解：设平面MBD的法向量为

n

=(x，y，z)，

DB

=(0，2a，-2a)，
由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DM

，得

n • DB =2ay-2az=0 n • DM =ax+ay- 3a 2 z=0

?

y=z x+y- 3z 2 =0

取z=2得平面MBD的一非零法向量为

n

=(1，2，2)，
又平面BDA的一个法向量

n1

=(1，0，0)．
∴cos＜

n

，

n1

＞ =

1+0+0

12+22+22 • 12+02+ 02

=

1

3

，即cosβ=

1

3

点评：本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角，以及利用空间向量度量二面角的平面角等有关问题，属于中档题．