Question

设f （x） 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x₁，x₂∈都有f （x₁＋x₂） = f （x₁） ? f （x₂）．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）证明f （x） 是周期函数；

Answer 1

（Ⅰ）解：由f （x₁＋x₂） = f （x₁） ? f （x₂），x₁ x₂∈[0，]知

                f （） ? f （）≥0，x∈[0，1]．                   

∵ f （） = f （） ? f （） = [f （）]²，

                ，

∴ f （）．                                                 

∵ f （），

                f （），

∴ f （）．                                                 

（Ⅱ）证明：依题设y = f （x）关于直线x = 1对称，

故 f （x） = f （1＋1－x），

即f （x） = f （2－x），x∈R．

又由f （x）是偶函数知f （－x） = f （x） ，x∈R，

∴ f （－x） = f （2－x） ，x∈R，

将上式中－x以x代换，得f （x） = f （x＋2），x∈R．

这表明f （x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．