Question

已知矩形ABCD，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△EC的位置，使二面角－EC－B是直二面角．

(Ⅰ)证明：BE⊥C；

(Ⅱ)求二面角－BC－E的余弦值，

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵AD＝2AB＝2，E是AD的中点， 　　∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC＝90°，即 　　又∵平面EC⊥平面BEC，面EC∩面BEC＝EC 　　∴BE⊥面EC，∴BE⊥C　　4分 　　(Ⅱ)法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC 　　垂足为F，连接M，F，则M⊥EC． 　　∵平面EC⊥平面BEC　∴M⊥平面EBC 　　∴MF是F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：F⊥BC 　　∴∠FM是二面－BC－E的平面角　　8分 　　在Rt△MF中，， 　　， 　　∴二面角－BC－E的余弦值为　　14分， 　　法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系． 　　则　　8分 　　设平面BEC的法向量为；平面BC的法向量为， 　　　取x2＝l　　12分 　　得 　　∴二面角－BC－E的余弦值为　　14分