Question

已知函数f(x)=lnx-

x

a

(a＞0)，若?x0∈R，使得?x₁∈[1，2]，都有f（x₁）＜f（x₀），则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，+∞）

D．（0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，从而问题转化为最大值不在区间[1，2]，故可求实数a的取值范围．

解答：解：求导函数，f′(x)=

1

x

-

1

a

(x＞0)
当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）_max=f（a）．
?x₀∈R，使得?x₁∈[1，2]，都有f（x₁）＜f（x₀），则最大值不在区间[1，2]，
∴a∉[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）
故选D．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．