Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=60°，且cosA=

11

14

．
（1）求cosC的值；
（2）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知的等式，求出cos（B+C）的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，由B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB与cosB的值，将cosC中的C变为为（B+C）-B，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出cosC的值；
（2）由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与sinA的值，利用正弦定理求出b与c的值，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．

解答：解：（1）∵cosA=-cos（B+C）=

11

14

，∴cos（B+C）=-

11

14

，
∴sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

5 3

14

，又B=60°，
则cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；
（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

，
∵a=5，sinA=

1-cos2A

=

5 3

14

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

5

5 3 14

=

14 3

3

，
∴c=

14 3

3

×

4 3

7

=8，b=

14 3

3

×

3

2

=7，
则S=

1

2

bcsinA=14

3

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．