Question

（本小题满分10分）

在正方体中，E,F分别是CD，A₁D₁中点

（1）求证：AB₁⊥BF；

（2）求证：AE⊥BF；

（3）棱CC₁上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，

确定点P的位置；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）证明：连结A₁B,CD₁  ∵AB₁⊥A₁B, AB₁⊥BC,A₁B∩BC=B  ∴AB₁⊥平面A₁BCD₁ , 又BF平面A₁BCD₁ ,所以AB₁⊥BF

     (2) 证明：取AD中点M，连结FM，BM              ∵ABCD为正方形，E,M分别为所在棱的中点，

              ∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM=M,              ∴AE⊥平面BFM， 又BF平面BFM，∴AE⊥BF

(3) 存在，P是CC₁的中点，则易证PE∥AB₁，故A,B₁,E,P四点共面

   证明：由（1）（2）知AB₁⊥BF，AE⊥BF，AB₁∩AE=A，∴BF⊥平面AEB₁，         即BF⊥平面AEP