Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知b=1，，由此能够导出椭圆C的方程．
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0，利用三角形的重心公式可求
解答：解：（1）设椭圆C的方程为 ，
则由题意知b=1．∴．
即 ．∴a²=2．
∴椭圆C的方程为 ；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0
由△=24-8m²＞0得m²＜3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴
∵F（1，0），∴
∴
∴直线l方程为y=x-
点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解．