Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则
∵a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d)
∵a₁=3，∴d²-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
∵q=

b3

b2

=

a4

a1

=3，b1=

b2

q

=1
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2+2n
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

∵

1

n+1

+

1

n+2

≤

1

2

+

1

3

=

5

6

∴

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)≥

1

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4