Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：T_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项，建立方程，求出公差与公比，即可得到数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求出数列的和，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：设d、q分别为等差数列{a_n}、等比数列{b_n}的公差与公比，且d＞0
由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3有b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d…（2分）
∵数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项
∴（2+d）²=2（4+2d），∴d²=4，
∵d＞0，∴d=2，∴…（4分）
∴…（6分）
（II）证明：，①
．②
①-②，得．…（8分）
∴．…（10分）
∵．∴…（12分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．