Question

已知关于x的不等式

1

a

x2+bx+c＜0（b＞0）的解集为R，则T=

5+2ab+4ac

ab+1

的最小值为（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  3

• D．4

Answer 1

分析：从二次函数的二次项系数及判别式限制，得到a，b，c满足的不等关系；利用基本不等式求出最小值．

解答：解：∵一元二次不等式

1

a

x²+bx+c＜0的解集为R，
∴

a＜0  △＜0

，即

a＜0 b2-4× 1 a ×c＜0

．
∵b＞0＞a，∴b-a＞0，
由于b²＜

4c

a

，则得c＜

ab2

4

，
则T=

5+2ab+4ac

ab+1

＞

5+2ab+a2b2

ab+1

=

(ab+1)2+4

ab+1

=(ab+1)+

4

ab+1

≥2

(ab+1)• 4 ab+1

=4
当且仅当(ab+1)=

1

ab+1

，即ab=-3时，取等号
故答案为：D

点评：主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．