Question

已知实数x，y满足x²+y²+2x-2

3

y=0．
（Ⅰ）求x-

3

y的取值范围；
（II）当实数a为何值时，不等式x²+y²-a≤0恒成立？

Answer 1

分析：（Ⅰ）配方得圆的标准方程，令x-

3

y=t，则问题转化为直线与圆有公共点，由此可求x-

3

y的取值范围；
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，分离参数，可得a≥x²+y²恒成立，求出右边的最大值，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）配方，得圆的标准方程（x+1）²+（y-

3

）²=4     （1）
再令x-

3

y=t          （2）
则直线（2）与圆（1）有公共点（x，y），所以圆心C（-1，

3

）到直线的距离为d=

|-1-3-t|

2

≤2
∴-8≤t≤0，即x-

3

y的取值范围是[-8，0]．
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，等价于a≥x²+y²恒成立，
由（Ⅰ）得x²+y²=-2（x-

3

y）=-2t≤16，所以a≥16．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查恒成立问题，分离参数，求最值是关键．