Question

已知数列{a_n}满足a₁=1,且a_n+1=2a_n+1(n∈N^*),求a_n.

Answer 1

解法一:a_n+1=2a_n+1a _n+1+1=2(a_n+1)=2,

令b_n=a_n+1,∴=2.

则新数列{b_n}为公比q=2,首项b₁=a₁+1=2的等比数列.

由通项公式可得b_n=b₁·q^n-1=2·2^n-1=2ⁿ,

∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1.

解法二:∵a _n+1=2a_n+1,

∴a_n+2=2a _n+1+1(函数思想).

两式相减得a_n+2-a _n+1=2(a_n+1-a_n),

∴数列{a _n+1-a_n}为首项a₂-a₁=2,公比是2的等比数列.

于是a _n+1-a_n=(a₂-a₁)2^n-1=2ⁿ.

又a _n+1=2a_n+1,∴a_n=2ⁿ-1.