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    证明不等式：
    1
    1
    +
    1
    1×2
    +
    1
    1×2×3
    +…+
    1
    1×2×3×…×n
    ＜2    ．
    分析：将分母扩大，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
    解答：证明：由题意，
    1
    1
    +
    1
    1×2
    +
    1
    1×2×3
    +…+
    1
    1×2×3×…×n
    ＜
    1
    1
    +
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-1
    =2-
    1
    2n-1
    ＜2，
    即
    1
    1
    +
    1
    1×2
    +
    1
    1×2×3
    +…+
    1
    1×2×3×…×n
    ＜2    ．
    点评：本题考查不等式的证明，考查等比数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    用数学归纳法证明不等式
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    n+n
    ＞
    13
    24
    的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是
    1
    (k+1)+k
    +
    1
    (k+1)+(k+1)
    -
    1
    k+1
    1
    (k+1)+k
    +
    1
    (k+1)+(k+1)
    -
    1
    k+1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明下列不等式：
    （1）对任意的正实数a，b，有
    1
    1+a
    ≥
    1
    1+b
    -
    a-b
    (1+b)2
    ；
    （2）
    C
    0
    n
    •
    50
    50+1
    +
    C
    1
    n
    •
    51
    51+1
    +
    C
    2
    n
    •
    52
    52+1
    +…+
    C
    n
    n
    •
    5n
    5n+1
    ≥
    2n•5n
    3n+5n
    ，n∈N．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•佛山一模）设g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．
    （1）求函数f（x）的极值；
    （2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|
    ex-1
    x
    -1|＜a    成立；
    （3）设λ1，λ2∈R+，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：
    a
    λ1
    1
    +a
    λ2
    2
    ≤λ1a1+λ2a2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
    B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
    C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
    D．证明不等式：
    1
    1
    +
    1
    1×2
    +
    1
    1×2×3
    +L+
    1
    1×2×3×L×n
    ＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （05年江苏卷）（14分）

    设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且

    其中A,B为常数.

    （Ⅰ）求A与B的值；

    （Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；

    （Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.

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