Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：如图连结AC，AC交BD于O，连结EO．∵底面ABCD是正方形．∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA∥平面EDB． (2)证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC． ∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DE⊥PC．① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC． ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE平面PDC， ∴BC⊥DE．② 由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD． (3)解：由(2)知，PB⊥DF，故是二面角C-PB-D的平面角． 由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB． 设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，， ，， ．在Rt△PDB中，． 在Rt△EFD中，,∴． 所以二面角C-PB-D的大小为．