Question

设有半径为3km的圆形社区，A、B两人同时从社区中心出发，A向东，而B向北直进？A出发后不久，改变前进方向，斜着沿切于社区周界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？

Answer 1

答案：略
解析：

设想以社区的中心为原点，以开始时A、B的前进方向为x，y轴，建立直角坐标系． 设A、B两人的速度分别为3vkm/h，vkm/h，再设A出发后小时，在点P处改变方向，又经小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(，0)，(0，v(＋))，如图所示． 由于A从P到Q行走的时间是小时，由勾股定理 ， 有， 化简、整理，得 ， 又，∴，① 于是，② ①代入②得，． 解法一，由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(＋)的值即为所求，现转化为“当直线与圆相切时，求纵截距b的值． 利用圆心到切线的距离等于半径，得(b＞0) 因此，A和B相遇的地点是在离社区中心正北处． 解法二：研究△POQ面积，则， ∴． 由①，得，， ∴(km)．

提示：

已知条件中，时间相等，速度成比例，剩下要找的是路程关系，牵涉到圆与切线，可将问题置于坐标系中，从数学角度去考察路程的数量关系． 合理建立直角坐标系，建立解析几何模型，通过设元，找关系，转化为数学问题作出定量或定性的分析与判断，解决实际应用问题．