Question

判断下列命题的真假:

(1)任取x∈R,|x|+2≥2;

(2)任取x∈［0,］,sinx＞0;

(3)任取x∈R,x²+3＞0;

(4)任取x∈N,x⁴≥1;

(5)存在x∈Z,x³＜1;

(6)存在x∈Q,x²=3;

(7)任取x∈R,x³-3x+2=0;

(8)存在x∈R,x²+1=0.

Answer 1

解:(1)任取x∈R,总有|x|≥0,因而|x|+2≥2,所以该全称命题是真命题.

(2)0∈［0,］,但sin0=0,所以sin0＞0不成立,所以该全称命题是假命题.

(3)任取x∈R,x²≥0,所以x²+3≥3＞0.所以x²+3＞0.所以命题“任取x∈R,x²+3＞0”是真命题.

(4)由于0∈N,当x=0时,x⁴≥1不成立,所以命题“任取x∈N,x⁴≥1”是假命题.

(5)由于-1∈Z，当x=-1时，能使x³＜1,所以命题“存在x∈Z,x³＜1”是真命题.

(6)由于使x²=3成立的数只有±,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“存在x∈Q,x²=3”是假命题.

(7)因为只有x=1或x=2时,满足x²-3x+2=0,而不是任取x∈R,x²-3x+2=0成立，所以命题“任取x∈R,x²-3x+2=0”是假命题.

(8)因为不存在一个实数x,使x²+1=0成立,所以命题“存在x∈R,x²+1=0”是假命题.