Question

已知a为正常数，定义运算“?”，如下：对任意m，n∈N^*，若m?n=a，则（m+1）?n=2a，m?（n+1）=a+1．当1?1=1时，则1?10=________，5?10=________．

Answer 1

10    160
分析：先根据条件得到∴{1?n}表示以1?1=1为首项，1为公差的等差数列，即可求出1?10；再结合m?n=a，（m+1）?n=2a，得到{m?10}表示以1?10=10为首项，2为公比的等比数列求出5?10即可．
解答：因为1?1=1，且m?n=a，m?（n+1）=a+1，
∴m?（n+1）-m?n=1．
∴{1?n}表示以1?1=1为首项，1为公差的等差数列．
∴1?n=1+（n-1）?1=n．
∴1?10=10．
又1?10=10，且m?n=a，（m+1）?n=2a，
∴=2．
∴{m?10}表示以1?10=10为首项，2为公比的等比数列．
∴m?10=10?2^m-1．
∴5?10=10?2⁴=160．
故答案为：10，160．
点评：本题是在新定义下对等差数列以及等比数列和函数的值的综合考察．解决本题的关键在于理解定义，并能根据定义得到数列的规律．