Question

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用递推公式a_n+1=2S_n把已知转化为a_n+1与a_n之间的关系，从而确定数列a_n的通项；
（II）由（I）可知数列a_n从第二项开始的等比数列，设b_n=n则数列b_n为等差数列，所以对数列n•a_n的求和应用乘“公比”错位相减．
解答：解：（I）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1、公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，a_n-2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，
当n=1时，T1=1；
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，②
①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1=2+2•=-1+（1-2n）•3n-1
∴Tn=+（n-）3n-1（n≥2）．
又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n-）3^n-1（n∈N*）
点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．