Question

设函数f(x)＝x²－mlnx，h(x)＝x²－x＋a．

(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

(3)是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由a＝0，f(x)≥h(x)可得－mlnx≥－x 　　即　　1分 　　记，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于． 　　求得　　2分 　　当时；；当时，　　3分 　　故在x＝e处取得极小值，也是最小值， 　　即，故．　　4分 　　(2)函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，[1，3]上恰有两个相异实根．　　5分 　　(x)＝x－2lnx，则　　6分 　　当时，，当时， 　　g(x)在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数． 　　故　　8分 　　又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3 　　∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)， 　　故a的取值范围是(2－2ln2，3－2ln3)　　9分 　　(3)存在m＝，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 　　，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．　　10分 　　若，则，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；　　11分 　　若，由可得2x2－m＞0，解得x＞或x＜－(舍去) 　　故时，函数的单调递增区间为(，＋∞) 　　单调递减区间为(0，)　　12分 　　而h(x)在(0，＋∞)上的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞) 　　故只需＝，解之得m＝　　13分 　　即当m＝时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性．　　14分